样条曲线（Spline Curves）

前言： 关于样条曲线的一些技术，包含贝塞尔曲线和B样条基函数的原理、数学描述及Python实现。内容实际是为了解决在给定控制点的条件下，如何确定一个光滑曲线的问题。 下启：样条曲线(下)

0. 基本概念

样条曲线(Spline Curves)： 是给定一系列控制点而得到的一条曲线，曲线形状由这些点控制。一般分为插值样条和拟合样条。

插值：在原有数据点上进行填充生成曲线，曲线必经过原有数据点。

拟合：依据原有数据点，通过参数调整设置，使得生成曲线与原有点差距最小（最小二乘），因此曲线未必会经过原有数据点。

1. 起源

样条曲线起源于一个常见问题，即已知若干点的条件下，如何得到通过这些点的一条光滑曲线？

一个简单且行之有效的方法是，把这些点作为限制点，然后在这些限制点中放置一条具有弹性的金属片，最后金属片绕过这些点后的最终状态即为所需曲线。而最终得到的形状曲线，就是样条曲线。这也是该名字的由来，其中金属片就是样条，形成的曲线就是样条曲线。如下图

该想法虽然巧妙，但显然不具有推广性。因此问题就出来了，如何将其抽象出一个数学模型，从而在已知控制点条件下，仅仅通过数学公式从而获得平滑的样条。

再简化一些，问题便是，如何在两点间进行插值，整体上获得一个平滑曲线。

贝塞尔曲线实际上就是一个样条曲线。可以通过多个控制点，插值获得一个平滑曲线。何为贝塞尔曲线？

2. 贝塞尔曲线（Bézier curve）

1.1 直线段表示（2 points）

从最简单的问题入手，假设有两点\(P_0,P_1\)（端点），如何根据两点确定一条(曲)线？

最简单的问题也有最简单的解答，确定的这条线就是连接\(P_0,P_1\) 两点的线段。从计算机的角度而言，本没有连续的线，因为计算机数据本身就是离散的，因此计算机中线的描述也只是由无数个点组成。

那么，如何用计算机绘制出这条线呢，确切说，如何表达这条线段上任何位置的坐标呢？（其实本质上就是在两点间插值）

解答同样简单，线段上任意位置点坐标可以用一个比例参数 t 来表示，表达式为

实际上这就是一次的贝塞尔曲线的表达式。之所以为称为一次，是因为式中 t 的最高幂次为 1。对于式子的不同理解可以为，\((1-t)\) 为 \(P_0\) 权重，t 为 \(P_1\) 权重，权重越大，越靠近对应的点。

1.2 抛物线三切线定理（3 points）

问题来到三个点，即如果知道三个点 \(P_0,P_1,P_2\)，且 \(P_0,P_2\) 为端点，那么如何确定一条曲线呢？（理解贝塞尔曲线时，可以把\(P_1\)看作是控制点，我们要的是在控制点下，对\(P_0,P_2\) 两点间的插值）

最简单的想法是，直接连接 \(P_0,P_1\) 和 \(P_1,P_2\)，得到两个线段就可以确定一个曲线，但这明显不是我们想要的，它不够平滑，往往一阶导还不连续（即不满足c1连续，下有详细叙述）。

第二个想法，可以考虑借用二次曲线，但如何在知道三点的情况下确定一个二次曲线呢？

最简单做法是列三个方程组，解方程，然后得到一个二次函数，也即确定了二次曲线，且通过已知的三点。同样，递推到更多已知点，也可以用相似的方法。对于 n 个点，可以使用 n-1 阶次的函数来确定一个唯一的曲线。这种方法也即是常用的多项式插值。前面，提到插值的特点在于，所有已知点都在最终确定的曲线上。

如何使用前述把\(P_1\)当作控制点的思路来解决这个问题呢？即没必要所有点都处在最终确定的曲线上，是否可以参考上面两点情况下，使用权重或是比例参数 t 来确定一条曲线呢？

现在的目的就是，使用三点确定任意一点\(P_x\) ，且最终由无数个\(P_x\) 点形成的曲线连续可导（c1连续）。依据上面两点坐标下确定曲线任意点的思路，异想天开一下。先将三个点划分为两组，即\(P_0,P_1\)和\(P_1,P_2\)。对于两组点，分别使用上面结论，那么在参数 t 下，两组分别确定了两个任意点，记为 \(P_i,P_j\) ，也即

可参考下图中的 \(P_i,P_j\) 。

但我们想要的是由 \(P_0,P_1,P_2\) 三个点确定的唯一点 \(P_x\)，而现在我们得到了两个点，那再使用一次 上面公式不就可以了。也即

问题解决了。

幸运的是，对于\(t\in [0,1]\) 最终确定的线是可导、平滑的。想法有点异想天开，但还是要总结一下，在基于此想法下，用到了三次上面两点下任意点的求法，且有

最终结果

实际上，上述描述的就是抛物线的三切线定理（性质）。即对于一个抛物线，经过线上两点 \(P_0,P_2\) 的两个切线相交于 \(P_1\) 点，经过在 \(P_0,P_2\) 间抛物线一点 \(P_x\) 的切线，与上述确定的两条切线交于 \(P_i,P_j\) 。则有

如果令该比值为 t ，三个方程，三个未知点。最终可以同样反推到上述结果

该结果，就是二次的贝塞尔曲线。同样二次的含义在于，t 的最高幂次为 2

前面"异想天开"的想法，在于说明，贝塞尔曲线是递推的，或者说是可以递推的。二阶贝塞尔曲线是两个一阶贝塞尔曲线的线性组合。同样的思维，三阶贝塞尔曲线由两个二阶贝塞尔曲线线性组合。因此我们可以确定三阶、四阶，以至于更高阶。

值得说明的是，photoshop中的钢笔工具就是应用的三次贝塞尔曲线。

1.3 通用公式

假设一共有 \(n+1\) 个点 \(P_0,P_1,\cdots,P_n\) ，这 \(n+1\) 个点确定了 n 次的贝塞尔曲线。

n 阶贝塞尔曲线 \(B^{n}(t)\) 可以由前 n 个点决定的 n-1 次贝塞尔曲线 \(B^{n-1}(t|P_0,\cdots,P_{n-1})\) 与 后 n 个点决定的 n-1 次贝塞尔曲线 \(B^{n-1}(t|P_1,\cdots,P_n)\) 线性组合递推而来，即

且一次贝塞尔曲线，即为由两点决定的线段，也即

可以得到 n 次贝塞尔曲线的表达通式为

1.4 代码实现

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import comb

def inputPoints():
	controlPoints = []
	num = 1
	while True:
		print('\nenter %dst control point:'%num)
		x = input('x:')
		y = input('y:')
		#z = input('z:')
		print('Point:[%f,%f]'%(float(x),float(y)))
		i = input('Are you sure?(y or n)')
		if i=='y' or i=='Y':
			controlPoints.append([float(x),float(y)])
			inp = input('continue entering points or not?(y or n)')
			num = num + 1
			if inp == 'n':
				break
		else:
			continue

	#print(controlPoints)
	return controlPoints

def getInterpolationPoints(controlPoints, tList):
	n = len(controlPoints)-1
	interPoints = []
	for t in tList:
		Bt = np.zeros(2, np.float64)
		for i in range(len(controlPoints)):
			Bt = Bt + comb(n,i) * np.power(1-t,n-i) * np.power(t,i) * np.array(controlPoints[i])
		interPoints.append(list(Bt))

	return interPoints

if __name__ == '__main__':
#	points = inputPoints()
	points = [[1,1],[3,4],[5,5],[7,2]]
	tList = np.linspace(0,1,50)
	interPointsList = getInterpolationPoints(points, tList)
	x = np.array(interPointsList)[:,0]
	y = np.array(interPointsList)[:,1]

	plt.plot(x,y,color='b')
	plt.scatter(np.array(points)[:,0],np.array(points)[:,1],color='r')
	plt.show()

结果

说明

• 实现使用了二维点，应该可以更高维
• 结果展示了三次贝塞尔曲线，由四个控制点(红色)生成

3. 曲线连续性描述

上面提到了c1连续，在计算机图像学中，有详细描述

为理解说明，假设有两个曲线 \(f(x),x\in[a,b]\) 和 \(g(x),x\in[b,c]\)，

\(c^0\)连续：即函数连续，不存在间断点。实例中\(f(b) = g(b)\)

\(c^1\)连续：函数的一阶可导且导数连续。实例中 \(f'(b) = g'(b)\)

\(c^2\)连续：函数的二阶可导且导数连续。实例中 \(f''(b) = g''(b)\)

\(c^n\)连续：函数的\(n\)阶可导且导数连续。实例中 \(f^{(n)}(b) = g^{(n)}(b)\)

更详细说明和实例可以参考维基：光滑函数

4. B样条基函数（B-Spline Basis Function）

4.1 多段贝塞尔曲线

在剖物线三切线定理中，最初想法是三点直接相连，得到曲线虽然 \(c^0\) 连续，但不满足 \(c^1\) 连续。为了解决这个问题，进而使用了二次的贝塞尔曲线。

问题是，对于一个复杂弯曲的曲线，我们希望使用一个贝塞尔曲线来插值获得目标曲线，为此我们可以通过增加控制点来进行插值。但目标曲线越复杂，需要的控制点就越多，而 贝塞尔曲线幂次 = 控制点个数 - 1，即需要的计算也越复杂。该方法虽然可行，但是不明智的，低效率的。另外对于单一的贝塞尔曲线，改变其中一个控制点，那么整条曲线都会随之改变。

因此对于复杂曲线，一般做法是，使用三次贝塞尔曲线（常用次）一段一段地拼接成目标曲线，正如 Ps 或 Ai 中使用钢笔工具画出物体轮廓所做的那样。 如果使用这种方法，确保最终整体曲线 \(c^1\) 连续的条件是 在连接点出两侧的斜率相等，即连接点和其两侧控制点共线。

下图是由两个三次贝塞尔曲线组成的曲线

假设从左到右点依次为 \(P_0,P_1,\cdot,P_7\) ，确保两段曲线拼接起来 \(c^1\) 连续的条件就是 \(P_2,P_3,P_4\) 三点共线。

4.2 从贝塞尔曲线到B样条基函数

4.2.1 贝塞尔曲线

回到最初问题上，通过一系列点，获取一条光滑的曲线。也即通过这些控制点，生成一系列点坐标，这些点坐标形成光滑曲线。

对于贝塞尔曲线上点的生成，是通过如下方程函数

或者展开写成这样

其中 \(W_{t,n}^0\) 为\(P_0\) 前系数，是最高幂次为 n 的关于 t 的多项式。当 t 确定后，该值就为定值。

因此整个式子可以理解为 B(t) 插值点是这 n+1 个点施加各自的权重 W 后累加得到的。这也是为什么改变其中一个控制点，整个贝塞尔曲线都会受到影响。

其实对于样条曲线的生成，思路就是这样的，最终曲线的生成，就对于各个控制点施加权重即可。在贝塞尔曲线中，该权重是关于 t 的函数即

在B样条中，只不过这个权重设置更复杂点，下面一点点剖析其B样条曲线形成的原理。

4.2.2 B样条

上面提到，生成曲线，本质上就是在控制点前增加一个权重，然后累加即可。那么B样条中权重是如何计算的呢？

先介绍几个概念，容易混淆的概念，不太理解其来由也没关系。下面会一点点指出其用处。

• 控制点：也就是控制曲线的点，等价于贝塞尔函数的控制点，通过控制点可以控制曲线形状。假设有 n+1 个控制点\(P_0,P_1,P_2,\cdots,P_{n}\)
• 节点：这个跟控制点没有关系，而是人为地将目标曲线分为若干个部分，其目的就是尽量使得各个部分有所影响但也有一定独立性，这也是为什么B样条中，有时一个控制点的改变，不会很大影响到整条曲线，而只影响到局部的原因，这是区别于贝塞尔曲线的一点。节点划分影响到权重计算，可以预想到的是，实现局部性的影响的原理应该是在生成某区间内的点时，某些控制点前的权重值会为0，即对该点没有贡献，所以才有上述特点。事实上，就是如此的。先了解有这个概念即可。假设我们划分了 m+1 个节点 \(t_0,t_1,\cdots,t_m\)，将曲线分成了 m 段
• 次与阶 ：次的概念就是贝塞尔中次的概念，即权重中 t 的最高幂次。而 阶=次+1。这里只需要知道次这个概念即可。假设我们用 k 表示次，即 k 次。

下面用一个实例来说明

如上图，对应为

控制点有 n+1 = 5 个，n=4，即 \(P_0,P_1,P_2,P_3,P_4\)

节点规定为 m+1 = 10 个，m=9，即 \(t_0,t_1,\cdots,t_9\) ，该节点将要生成的目标曲线分为了 9 份，这里的 t 取值一般为 0-1的一系列非递减数。如 0 代表起始位置，1 代表末位置，0.5 代表一半的位置。\(t_0,t_1,\cdots,t_9\) 组成的序列，叫做节点表。如等分的节点表 \(\{0,\frac{1}{9},\frac{2}{9},\frac{3}{9},\frac{4}{9},\frac{5}{9},\frac{6}{9},\frac{7}{9},\frac{8}{9},1 \}\) 。

次为 k 。实际上有个必须要满足的关系式为 \(m=n+k+1\) ，即 \(k = m-n-1 = 4\) ，先对这个关系式有个印象即可。

下面开始用上面例子说明 B样条 是如何工作的。

我们的目的就是获取最终样条曲线，而根据前述，也即是获得任意点的坐标值，即 \(t\in[0,1]\) 时，获得一系列的点，这些点最终组成了目标曲线。这些点的坐标可以表示为 各控制点 \(P_i\) 与其权重 \(W_i\) 的乘积再累加，即

也即我们获得 \(W_i\) 即可。\(W_i\) 是关于 t 的函数，最高幂次为 k。B样条中通常记为 \(B_{i,k}(t)\) ，即 表示第 i 点的权重，关于 t 的函数，且最高幂次为 k。而这个权重函数 \(B_{i,k}(t)\) ，在B样条里叫做 k次B样条基函数。

下面就是关键，权重函数 \(B_{i,k}(t)\) 是如何取值的？这里就要用到前面的节点表的值了。针对上面实例，我们现在的目标是获取 5 个控制点\(P_0,P_1,P_2,P_3,P_4\) 对应的 5 个权重值 \(B_{0,4},B_{1,4},B_{2,4},B_{3,4},B_{4,4}\)

B样条是如何做的？先看如下一个列表

我们的目标是获得右侧五个值，这里 k 的取值假设是不知道的（虽然是 4 ），大可当作不知道。

表中 \(b_{i,k}\) 代表含义跟 \(B_{i,k}\) 是一样的，因为不是我们需要的最终值，而是需要求解的中间递推值，所以用小写表示。对于B样条权重，其是根据节点来计算，理论上，m+1个节点，可以得到如表所示的，每个k对应 9(m=9) 个b值，但我们最终只需要5个值，所以就需要对应规则限制。B样条获取5个权重值过程和规则如下（B样条基函数）

k = 0 时，即 0 次时，如果 \(t\in [t_j,t_{j+1}]\) ，那么规定 \(b_{j,0} = 1\)， 其余都为 0。如 \(t\in[t_2,t_3]\) 就有如下结果

k = 1 时，\(b_{j,1}\) 取值与低一次的相邻两节点相关，即与 0 次同域两端的节点相关。即 \(b_{j,1}\) 求解与\(b_{j,0},b_{j+1,0}\) 相关，如 \(b_{1,1}\) 就是依据 \(b_{1,0},b_{2,0}\) 求得。求解关系形式为

这里 A(t), B(t) 是关于 t 的一次幂函数。具体为

这里又涉及到“莫名其秒的下标，但涉及下标的那些值都为定值，此时只要记得是关于 t 的一次函数即可。这里有点类似与贝塞尔函数中递推过程中的前两值的线性组合。

我们用箭头表示上述计算过程，如下

值得说明的两点：

• 在\(b_{j,1}\) 中，有些值会取 0，因为在 0 次的 b 值有 0 。观察我们可以很容易的值，此时值为 0 的有 \(b_{0,1},b_{3,1},b_{4,1},b_{5,1},b_{6,1},b_{7,1}\) (注意：这是在 t 取值在 \([t_2,t_3]\) 范围的条件下)。而取值为非0的 \(b_{1,1},b_{2,1}\) 都是关于 t 的一次函数（因为\(A(t),B(t)\) 为 t 的一次函数）。前面提到想要使用局部控制曲线（而非全局）需要某些值为 0，所以是符合预期的。
• \(b_{8,1}\) 是无法求解的，因为它需要 \(b_{9,0}\) ，而该值不存在，所以，在 k=1 时，能得到的 \(b_{j,1}\) 减少了 1 （k=1）个，共有8个。同样是令人振奋的结果，因为我们的目标是需要 5 个值（因为有5个控制点），多减少几个不就达到目标了嘛。

k = 2 时，同样的过程，不再以表列出，同样有些 \(b_{j,2}\) 会取值为 0。有些值为非 0, 不同的一点在于，此时系数又乘了一次 A,B 函数，因此那些非 0 值，此时是关于 t 的二次幂函数。另外得到的 \(b\) 减少了 2（k=2）个，还剩 \(m-k = 9-2 = 7\) 个。

k = x时，同样，非0值会是关于 t 的 x 次函数，这也是为什么 k 会是 t 的最高次幂。b 会减少 k 个，还剩 \(m-k\) 。

我们最终那个需要 5 个（即 n+1 个）值，那么就需要有 \(m-k = n + 1\) ，也即 \(m = k + n + 1\) ，这便是上面说到的 \(m,n,k\) 关系式的由来。所以实例中 \(k = m-n-1 = 9-4-1 = 4\) ，即当 k=4 时，恰好还剩 5 个 b 值，就是我们需要的B样条基函数B。此时，最高幂次为 4。最终图表示意如下：

该图表表示的是在 t 取值在 \([t_2,t_3]\) 范围时，求得的 5 个控制点对应的权重\(B_{j,4}\)（基函数），最终结果\(B_{0,4},B_{1,4},B_{2,4}\) 都为非0值，且是关于 t 的四次函数，\(B_{3,4},B_{4,4}\) 为 0。 也就是说，本例中，\([t_2,t_3]\) 区间的曲线上点不受第四和第五个控制点变化的影响。

这就是所有的 B样条曲线生成的工作原理。

值得注意的几点性质：

• 对于 \(t\in[t_j,t_{j+1}]\) 时，最终非零 \(B_{j,k}\)为 \(B_{j-k,k},\cdots,B_{j,k}\) （如果\(j-k>=0\)的话），即第 \(j-k\) 至第 \(j\) 个控制点控制影响着 \([t_j,t_{j+1}]\) 区间内曲线点。可进行局部控制。
• 最终所得曲线结果一般不会经过控制点，因为最终得到的非0权重始终不止一个
• \(t_i\) 为非递减的，可以取重值
• 对于图中，

4.2.3 一般数学描述

将上面过程作为严谨的数学描述

对于 n+1 个控制点 \(P_0,P_1,\cdots,P_n\) ，有一个包含 m+1 个节点的列表（或节点向量）\({t_0,t_1,\cdots,t_{m}}\) ，其 k 次B样条曲线表达式为（且m=n+k+1）

其中 \(B_{i,k}(t)\) 称为 k 次 B 样条基函数，也叫调和函数。且 \(B_{i,k}(t)\) 满足如下递推式（de Boor递推式）

5. 分类

• 均匀 B 样条：节点均匀分布
• 准均匀 B 样条：在开始和结束处的节点可重复，中间节点均匀分布
• 非均匀 B 样条：节点非均匀分布
• 分段贝塞尔曲线
• PLUS（挖坑）：B样条无法描述圆锥曲线，为解决此问题，产生了非均匀有理B样条（non-uniform rational b-spline, NURBS）

6. 代码实现及验证的一些重要问题

6.1 完整python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 计算在某一特定t下的 B_{i,k}
def getBt(controlPoints, knots, t):
	# calculate m,n,k
	m = knots.shape[0]-1
	n = controlPoints.shape[0]-1
	k = m - n - 1
	# initialize B by zeros 
	B = np.zeros((k+1, m))

	# get t region
	tStart = 0
	for x in range(m+1):
		if t==1:
			tStart = m-1
		if knots[x] > t:
			tStart = x-1
			break
	 
	# calculate B(t)
	for _k in range(k+1):
		if _k == 0:
			B[_k, tStart] = 1
		else:
			for i in range(m-_k):
				if knots[i+_k]-knots[i]== 0:
					w1 = 0
				else:
					w1 = (t-knots[i])/(knots[i+_k]-knots[i]) 
				if knots[i+_k+1]-knots[i+1] == 0:
					w2 = 0
				else:
					w2 = (knots[i+_k+1]-t)/(knots[i+_k+1]-knots[i+1])
				B[_k,i] = w1*B[_k-1, i] + w2*B[_k-1, i+1]
	return B

# 绘制 B_{i,k}(t)函数
def plotBt(Bt,num, i,k):
	print(k,i)
	Bt = np.array(Bt)
	tt = np.linspace(0,1,num)
	yy = [Bt[t,k,i] for t in range(num)]
	plt.plot(tt, yy)

# 根据最后一列（最高阶次）的 B(t)，即权重，乘以控制点坐标，从而求出曲线上点坐标
def getPt(Bt, controlPoints):
	Bt = np.array(Bt)
	ptArray = Bt.reshape(-1,1) * controlPoints
	pt = ptArray.sum(axis = 0)
	return pt

# 绘制出生成的样条曲线: useReg 表示是否使用曲线有效定义域[t_k, t_{m-k}]
def main1(useReg = False):
	controlPoints = np.array([[50,50], [100,300], [300,100], [380,200], [400,600]])
	knots = np.array([0,1/9,2/9,3/9,4/9,5/9,6/9,7/9,8/9,1])
	m = knots.shape[0]-1
	n = controlPoints.shape[0]-1
	k = m - n - 1
	print('n:',n)
	print('m:',m)
	print('k:',k)
    
	for t in np.linspace(0,1,100):
		if useReg and not(t >= knots[k] and t<= knots[n+1]):
			continue
		Bt = getBt(controlPoints, knots, t)
		Pt = getPt(Bt[k, :n+1], controlPoints)
		plt.scatter(Pt[0],Pt[1],color='b')
	plt.scatter(controlPoints[:,0], controlPoints[:,1],color = 'r')
	plt.show()

# 绘制 B_{i,k} 变化图:如果不给定{i,k}则显示所有B{i,k}(t)图像
def main2(i=-1,k=-1):
	controlPoints = np.array([[50,50], [100,300], [300,100], [380,200], [400,600]])
	knots = np.array([0,1/9,2/9,3/9,4/9,5/9,6/9,7/9,8/9,1])
	m = knots.shape[0]-1
	n = controlPoints.shape[0]-1
	k = m - n - 1
	print('n:',n)
	print('m:',m)
	print('k:',k)
	B = []
	num = 100 # 离散点数目
	for t in np.linspace(0,1,num):
		Bt = getBt(controlPoints, knots, t)
		B.append(list(Bt))

	figure1 = plt.figure('B_{i,k}')
	if i==-1:
		fig = []
		for i in range(n+1):
			for k in range(k+1):
				plotBt(B,num, i,k)
				fig.append('B_{%d,%d}'%(i,k))
	else:
		plotBt(B,num, i,k)
		fig.append('B_{%d,%d}'%(i,k))
	plt.legend(fig)
	plt.show()   
    
if __name__ == '__main__':
    main1()
    main2()

6.2 结果

• \(b_{i,k}(t)\) 随 t 的变化

我们需要的是 \(B_{i,4} = b_{i,4}\) ,如下

且最终结果

观察曲线可以得知（其实是分析数据），当 \(t\in[t_4,t_5]\) 即 \(t\in[4/9,5/5]\) 时，\(B_{i,4}\) 都为非零值，也就是说该区间的点是由基函数完全定义的。

该区间可以一般性的写为 \([t_k,t_{m-k}]\) ，该域也称作某些特定生成曲线的定义域。

• 另外一些实际例子的结果
  • E1（均匀）

红色点为控制点，蓝色为要生成的目标曲线。

• E2（非均匀）

• E3（重复点）

• E4（重复点）

6.3 一些观察结果

• 节点列表的选择相当重要，会影响到最终曲线效果。一般情况下，全均匀分布的貌似效果不好？或者应该在此情况下考虑其定义域，定义域\([t_k,t_{m-k}]\) 内的曲线效果良好。
• 准均匀的样条曲线看起来很好。一个特别之处是，当在两个端点(即 t=0和1)时，如果节点列表分别重复有 k+1 次，那么该端点就类似于贝塞尔曲线端点。即，曲线会经过两端点，且与端点和相邻点连线相切。
• 应该有一些比较好用基于经验化的节点列表，或是好用的幂次样条曲线。

详细样条曲线插值原理见下篇: 样条曲线(下)